BAGI YANG INGIN SECARA LENGKAP BUKUNYA....
DOWNLOAD DI LINK BAWAH INI :
YANG BERBENTUK WORD :
http://www.scribd.com/doc/215150631/Buku-Ajar-Pendahuluan-Dan-Lp
YANG BERBENTUK PDF :
http://www.scribd.com/doc/215150669/MM
2. LINIER PROGRAMMING METODE GRAFIK
Persoalan L.P dengan dua variabel/peubah dapat diselesaikan dengan pertolongan grafik. Tetapi soal dngan tiga variabel atau lebih harus diselesaikan secara aljabar matrik yaitu menggunakan metode simpleks.
Contoh : soal maksimalisasi
Cari x1, x2
s.r.s Z = 2,5 x1 + 2 x2 ---à (5) : maksimum
d.k x1 + 2 x2 £ 8 ----à (1)
3 x1 + 2 x2 £ 9 -----à (2)
x1, x2 ³ 0 ------à (3), (4)
Jawab:
(1) x1 + 2 x2 = 8
Jika x1 = 0, maka 2 x2 = 8
X2 = 4 --à A (0,4)
Jika x2 = 0, maka x1 = 8 --à B (8,0)
(2) 3 x1 + 2 x2 = 9
Jika x1 = 0, maka 2 x2 = 9
X2 = 4,5 --à C(0;4,5)
Jika x2 = 0, maka 3 x1 = 9
X1 = 3 --à D (3,0)
(5) Z = 2,5 x1 + 2 x2
Misal Z = 0 --à 2,5 x1 + 2 x2 = 0
X1 = 0 --à 2 x2 = 0
X2 = 0 --à (0,0)
Misal Z = 10 --à 2,5 x1 + 2 x2 = 10
X1 = 0 --à 2 x2 = 10
X2 = 5 --à (0,5)
X2 = 0 --à 2,5 x1 = 10
X1 = 4 --à (4,0)
Keterangan model :
v (1) .... (4) disebut ketidaksamaan kendala
v Kendala (3), (4) disebut kendala tak negatif, yang ditambahkan sendiri, karena x1 < 0 dan x2 < 0 tidak memberi arti.
v Kendala (1), (2) disebut kendala utama
v Fungsi Z disebut fungsi sasaran atau tujuan.
Keterangan Grafik :
v Setiap kendala menghasilkan himpunan penyelesaian (H.P) berupa setengah bidang yang tertutup (artinya batasnya termasuk)
v Irisan ke empat bidang menghasilkan daerah segi empat OABC beserta batasnya
v Pasangan (x1,x2) yang memenuhi semua kendala disebut penyelesaian fisibel (P.F) atau Feasible Solution. Pada grafik akan disebut titik fisibel, sehingga daerah OABC merupakan himpunan titik fisibel, disebut daerah fisibel (fesible
Region)
v Penyelesaian fisibel yang juga mengoptimalkan fungsi sasaran disebut penyelesaian optimal (P.O). Inilah yang dicari dalam suatu soal L.P. Gambarnya disebut titik optimal (Optimal Solution)
v Cara mencari titik optimal
(1) Berikan dua nilai kepada Z misalnya Z = 0 dan Z = 5. Lukis kedua grafiknya. Jadi lukislah garis-garis 2,5 x1 + 2 x2 = 0 dan 2,5 x1 + 2 x2 = 5. Keduanya saling sejajar dan disebut garis selidik atau Iso profit untuk kasus maksimalisasi dan Isocost untuk kasus minimalisasi. Karena dari garis tersebut dapat dilihat kemiringan garis. Z = tetap dan digeser ke arah mana harus digeser supaya tercapai maksimal untuk Z. Titik optimal diperoleh sebagai titik fisibel terakhir yang dilalui oleh garis Z = tetap sebelum keluar dari daerah fisibel yaitu titik B.
(2) Setelah dihitung diperoleh koordinat B yaitu ( 0,5;3,75) sebagai perpotongan atau persamaan simultan dari batas kendala (1) dan (2) sebagai berikut :
(1) 
x1 + 2 x2 = 8 x 3
x1 + 2 x2 = 8 x 3
(2) 
3 x1 + 2 x2 = 9 x 1
3 x1 + 6 x2 = 24
3 x1 + 2 x2 = 9
3 x1 + 2 x2 = 9 x 13 x1 + 6 x2 = 24
3 x1 + 2 x2 = 9
4 x2 = 15
x2 = 3,75
(1) x1 + 2 (3,75) = 8
x1 = 8 - 7,5
x1 = 0,5
Dengan demikian penyelesaian Optimal (P.O) nya adalah (x1,x2) = (0,5;3,75)
v P.O ini akan menghasilkan fungsi sasaran/tujuan sebagai berikut :
Z (0,5;3,75) = 2,5 (0,5) + 2 (3,75)
= 8,75
8,75 ini adalah merupakan nilai program yang tidak lain adalah Z maksimal.
v
Contoh soal minimisasi (minimize)
Cari x1, x2
s.r.s : Z =
1,5 x1 + 2,5 x2 :
Minimum ........ (5)
d.p x1 + 3 x2
³ 3
..........................................(1)
x1 +
x2 ³ 2
..........................................(2)
x1, x2 ³ 0
...............................................(3), (4)
Jawab :
(1)
x1 + 3
x2 =
3
x1
= 0 à 3 x2 = 3
x2 = 1 à A (0,1)
x2
= 0 à x1 = 3 à B (3,0)
(2)
x1 +
x2 =
2
x1 = 0 à x2 = 2 à C (0,2)
x2 = 0 à x1 = 2 à D (2,0)
(5) Z = 1,5 x1 + 2,5 x2
0 =
1,5 x1 + 2,5 x2 à x1 = 0 ;
x2 = 0 à (0,0)
7,5
= 1,5 x1 + 2,5 x2 à x1 = 0 à 2,5 x2 = 7,5
x2 = 3 à (0,3)
x2 =
0 à 1,5 x1 =
7,5
x1 = 5 à (5,0)
Semua titik
jika dituangkan dalam grafik maka akan tampak sebagai berikut :
v
Garis
selidik (Z) digeser ke kiri terakhir menyentuh titik C. Dengan demikian P.O
adalah titik C (0,2) sehingga nilai program yaitu Z minimal = 1,5 x1 + 2,5 x2 =
1,5 (0) + 2,5 (2) = 5.
v
Contoh soal cerita
Perusahaan
pengalengan ikan memproduksi dua jenis produk ikan
kaleng jenis tengiri dan tongkol. Kedua jenis produk tersebut diproses
melalui tiga tahap yaitu pemotongan, pengolahan dan
pengkemasan. Rata-rata setiap unit produk ikan kaleng jenis tengiri
diproses selama 2 menit pada mesin pemotong, 2 menit
pada mesin pengolah, 4 menit pada mesin pengkemas.
Sedangkan rata-rata setiap unit produk ikan kaleng jenis tongkol diproses selama 1
menit pada mesin pemotong, 3 menit pada mesin pengolah dan 3 menit pada mesin
pengkemas. Kapasitas waktu pengoperasian mesin sangat terbatas,
yaitu kapasitas operasi mesin pemotong 300 menit/hari, mesin pengolah 600
menit/hari dan mesin pengkemas 720 menit/hari. Harga jual produk ikan kaleng
jenis tengiri dan tongkol masing-masing Rp. 3.000/unit. Dengan kapasitas
pengoperasian mesin-mesin yang terbatas, perusahaan ingin memperoleh keuntungan
maksimum. Selesaikan dengan metode aljabar.
1. PROGRAM LINIER METODE
ALJABAR
Untuk
memberikan contoh pemecahan persoalan L.P dengan cara aljabar, perhatikan
persoalan L.P yang telah dirumuskan sebagai berikut :
v Contoh persoalan maksimum
Cari x1, x2
s.r.s Z =
8 x1 + 6 x2 : Maksimum
d.k 4 x1 +
2 x2 £ 60
2
x2 + 4 x2 £ 48
x1 ³ 0 ; x2 ³ 0
Langkah-langkah pemecahan persoalan L.P secara aljabar :
v Ketidaksamaan kendala harus diubah dahulu menjadi persamaan
dengan jalan memasukkan slack variabel (misalnya x3 dan x4). Slack variabel
ialah suatu variabel yang ditambahkan di sebelah kiri tanda ketidaksamaan, agar
ketidaksamaan menjadi persamaan. Dengan memasukkan slack variabel x3 dan x4
kita peroleh 2 persamaan berikut :
4 x1 + 2 x2 + x3 =
60
2 x1 + 4 x2
+ x4 = 48
Persoalan L.P yang ketidaksamaannya sudah dirubah
menjadi persamaan disebut persoalan L.P yang standard. Dalam prakteknya x3 dan
x4 merupakan bahan mentah sisa yaitu yang tidak diproduksi, maka dari itu c3
dan c4 masing-masing nilainya sama dengan 0.
v Menyusun persoalan L.P standard
Cari x1, x2, x3, x4
s.r.s : Z = 8 x1 + 6 x2 + 0 x3 + 0 x4 : Maksimum
d.p 4 x1
+ 2 x2 + x3 = 60
2
x1 + 4 x2 + x4 = 48
x1, x2, x3, x4 ³ 0
v Jika ada n variabel yaitu x1, x2, ..., xn akan tetapi hanya
ada m persamaan, maka bisa diperoleh sebanyak K persamaan, dimana K =
kombinasi, dihitung berdasarkan rumus berikut :
n !
K
= ---------------
m! (n-m) !
Keterangan :
N ! = dibaca n faktorial
N ! = n (n-1) (n-2) ... 2.1
Contoh :
0 ! = 1
2 ! = 2.1 = 2
3 ! = 3.2.1 = 6
4 ! = 4.3.2.1 = 24
Dalam contoh persoalan diatas ini n = 4, m = 2, sehingga
4 ! 24
K = ----------------- = ---------- = 6
2 ! (4-2) ! 2 (2)
v
Dari
persoalan diatas ada 2 persamaan dan 4 variabel (x1, x2, x3, x4). Nilai-nilai
x1, x2, x3 dan x4 yang memenuhi persamaan tersebut disebut pemecahan dari
persamaan tersebut. Jadi apabila ada n variabel dan m persamaan maka variabel
yang diperoleh dari m persamaan tersebut disebut variabel dasar (basic variables). Sedangkan pemecahannya
disebut pemecahan dasar (basic solution).
Pemecahan yang memenuhi semua syarat pembatasan disebut pemecahan fisibel
(feasible solution). Kalau pemecahan fisibel maka merupakan pemecahan dasar
fisibel (basic feasible solution). Pemecahan yang menghasilkan paling sedikit
satu variabel yang negatif, maka disebut pemecahan tidak fisibel (not feasible solution)
v
Menyusun
6 persamaan dasar dan mencari pemecahannya
(1) Jika X1 = x2 = 0 (tidak ada produksi)
4
x1 + 2 x2 + x3 = 60
x3 =
60
2
x1 + 4 x2 + x4 = 48
x4 = 48
Z1
= 8 x1 + 6 x2 + 0 x3 + 0 x4
= 8 (0) + 6 (0) + 0 (60) + 0 (48)
= 0 (tidak ada penjualan)
(2) x1 = x3 = 0
4
x1 + 2 x2 + x3 = 60
2 x2 = 60
x2 = 30
2
x1 + 4 x2 + x4 = 48
4 x2 + x4 = 48
4 (30) + x4 = 48
x4 = 48 – 120 = - 72 (tidak fisibel)
Z2
tidak dihitung karena x4 negatif, jadi pemecahan tidak fisibel.
(3) x1 = x4 = 0
4 x1 + 2 x2 + x3 = 60
2 x2 + x3 = 60
2 x1 + 4 x2 + x4 = 48
4 x2 = 48
x2 = 12
2 x2 + x3 = 60
2 (12) + x3 = 60
x3 = 60 –24 = 36
Z3 = 8 (0) + 6
(12) + 0 (36) + 0 (0) = 72
(4) x2 = x3 = 0
4
x1 + 2 x2 + x3 = 60
4 x1 = 60
x1 = 15
2 x1 + 4 x2 + x4 = 48
2 (15) + x4 = 48
x4 = 18
Z4 = 8 (15) + 6
(0) + 0 (0) + 0 (18) =120
(5) x2 =
x4 = 0
4 x1 + 2 x2 + x3 = 60
4 x1 + x3 = 60
2 x1 + 4 x2 + x4 = 48
2 x1 = 48
x1 = 24
4 x1 + x3 = 60
4 (24) + x3 = 60
x3 = - 36
Z5 tidak
dihitung karena x3 negatif
(6) x3 = x4 = 0
4
x1 + 2 x2 + x3 = 60
4 x1 + 2 x2 = 60
2
x1 + 4 x2 + x4 = 48
2 x1 + 4 x2 = 48
v
Persamaan
simultan
4 x1 + 2 x2 = 60
x 1/2
2 x1 + 4 x2 = 48
x 1
2
x1 + x2 = 30
2 x1 + 4 x2 = 48
- 3 x2 = - 18
x2 = 6
2 x1 + 4 x2 = 48
2 x1
+ 4 (6) = 48
2 x1 = 24
x1 = 12
Z6 = 8 (12) + 6
(6) + 0 (0) + 0 (0)
= 132 (terbesar/maksimum)
Oleh
karena Z6 yang memberikan nilai tujuan terbesar maka Z6 = Z maksimum. Jadi
pemecahan dasar ke-6 merupakan pemecahan dasar yang optimal. Misalkan satuannya
dalam ribu, maka jumlah hasil penjualan maksimum = 132 ribu dengan keputusan
yang harus dibuat oleh pemilik perusahaan ialah bahwa barang A dan B dimana A =
x1 dan B = x2 masing-masing harus diproduksi sebesar 12 satuan dan 6 satuan.
v
Contoh persoalan minimum
Cari
x1, x2
s.r.s Z = 5
x1 + 3 x2 : Minimum
d.p 2 x1 + x2
³ 3
x1 + x2 ³ 2
x1, x2 ³ 0
Model
diatas harus diubah dahulu menjadi persamaan standard dengan memasukkan surplus
variabel x3 dan x4, yaitu variabel yang harus dikurangkan didalam suatu
ketidaksamaan agar supaya menjadi persamaan. Persoalan yang standard adalah
sebagai berikut :
Cari
x1, x2, x3 dan x4
s.r.s Z = 5 x1 + 3 x2 – 0 x3 – 0 x4 :
Minimum
d.p 2 x1 + x2 – x3 =
3
x1 + x2 - x4
= 2
x1, x2, x3, x4 ³ 0
Jawab :
(1) x1 = x2 = 0
2
x1 + x2 – x3 = 3
- x 3 = 3
x3 = -
3
x1 +
x2 - x4 = 2
- x4 = 2
x4 = -2
Z1 tidak perlu
dihitung karena pemecahan ini tidak fisibel, x3 dan x4 tidak memenuhi syarat
(nilainya negatif)
(2)
x1 = x3 = 0
2 x1 + x2 – x3 = 3
x2 = 3
x1 + x2 – x4 = 2
3 - x4
= 2
-
x4 =
-1
-
x4 = 1
Z2 = 5 (0) + 3
(3) – 0 (0) – 0 (1) = 9
(2) x1 = x4 = 0
2 x1 + x2 – x3 = 3
x2 – x3 = 3
x1 + x2 – x4 = 2
x2 =
2
2 – x3 = 3
-
x3 = 1
x3 = - 1
Z3 tidak perlu
dihitung karena pemecahan ini tidak fisibel, x3 tidak memenuhi syarat
(negatif).
(3) x2 =
x3 = 0
2
x1 + x2 – x3 = 3
2 x1 = 3
x1 = 1,5
x1
+ x2 – x4 = 2
x1 – x4 = 2
1,5 – x4
= 2
- x4 =
0,5
x4 = - 0,5
Z4 tidak perlu
dihitung.
(4) x2 =
x4 = 0
2
x1 + x2 – x3 = 3
2 x1 – x3 = 3
x1
+ x2 – x4 = 2
x1 = 2
2
(2) – x3 = 3
-
x3 =
-1
x3 = 1
Z5 = 5 (2) + 3
(0) – 0 (1) – 0 (0) = 10
(5) x3 = x4 = 0
2
x1 + x2 – x3 = 3
2
x1 + x2 = 3
x1 + x – x4 = 2
x1
+ x2 =
2
Persamaan
simultan :
2
x1 + x2 = 3
x1
+ x2 = 2
x1 =
1
1 + x2 = 2
x2 = 1
Z6 = 5 (1) + 3
(1) – 0 (0) – 0 (0) = 8
Dari 6
pemecahan dasar dipilih nilai Z yang paling kecil yaitu Z6 = Z minimum = 8.
Interpretasi lebih lanjut dari
penyelesaian persoalan L.P dengan metode aljabar adalah sebagai berikut :
(a) Kombinasi 1 pada kasus maksimalisasi yaitu
x1 = 0 dan x2 = 0 artinya perusahaan tidak berproduksi. Dengan tidak
berproduksi maka sumberdaya yang dimiliki tidak terpakai artinya sisa
sumberdaya sebanyak jumlah yang dimiliki yaitu x3 = 60 dan x4 = 48
(b) Kombinasi ke 3 dngan tidak memproduksi
produk 1 ( x1 = 0), memproduksi produk 2 sebanyak 12 unit ( x2 = 12) maka
penerimaan yang diperoleh sebesar 72. Dengan kombinasi tersebut sumberdaya 1
tersisa 36 unit dan sisa sumberdaya 2 adalah 0 atau habis terpakai.
(c) Kombinasi ke 4 dengan tidak memproduksi
produk 2 (x2 = 0), memproduksi produk 1 sebanyak 15 unit ( x1 = 15) maka
penerimaan yang diperoleh sebanyak 120. Dengan kombinasi tersebut sumberdaya 1
habis terpakai dan sumberdaya ke 2 sisa 18 unit.
(d) Kombinasi ke 6 dimana diupayakan sumberdaya
habis terpakai yaitu sisa masing-masing sumberdaya adalah 0 maka diproduksi
produk 1 sebanyak 12 unit dan produk 2 sebanyak 6 unit. Dengan demikian
penerimaan yang diperoleh adalah sebanyak 132 unit.
Kombinasi
terbaik adalah kombinasi ke 6 karena nilai Z tertinggi dan penggunaan
sumberdaya paling efisien karena kedua sumberdaya habis terpakai.
v Persoalan Programming
Persoalan programming pada dasarnya berkenaan
dengan penentuan alokasi yang optimal daripada sumber-sumber yang langka (Limited Resources) untuk memenuhi suatu
tujuan (objective), misalnya bagaimana mengkombinasikan beberapa sumber yang
serba terbatas seperti tenaga kerja, material, mesin, tanah, pupuk, air dsb
sehingga diperoleh output yang optimal.
v Persoalan Linier
Programming (L.P)
Persoalan
L.P adalah persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel
sedemikian rupa sehingga (s.r.s) nilai fungsi tujuan (objective function) yang
linier menjadi maksimum atau minimum
Dengan demikian maka teknik L.P dapat digunakan
dalam 2 cara yaitu :
a.
Memaksimumkan total
penerimaan atau total keuntungan pada kendala sumberdaya yang terbatas yang
selanjutnya disebut dengan istilah program memaksimumkan atau maksimisasi
(maximize)
b.
Meminimumkan biaya dalam rangka
tetap mendapatkan total penerimaan atau total keuntungan sebesar mungkin atau
minimisasi (minimize)
Penggunaan salah satu dari cara tersebut dilakukan karena
tersedianya data yang berbeda.
v Asumsi Dasar L.P
Beberapa asumsi digunakan dalam
memecahkan persoalan L.P yaitu
1)
Proportionality :
Asumsi ini mempunyai arti naik turunnya Z dan
penggunaan sumber/fasilitas akan berubah sebanding (proportional) dengan
perubahan tingkat aktivitas
2)
Nilai tujuan tiap
aktivitas tidak saling mempengaruhi. Nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh
kenaikan suatu aktivitas dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z
yang didapat dari aktivitas lain.
3)
Divisibility :
Output setiap kegiatan dapat berupa bilangan
pecahan. Demikian pula dengan Z (hasil). Misalnya x1 = 6,5 ; Z = 1000,75
4)
Deterministic
Parameter yang terdapat dalam model L.P
(aij;bi;cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun kurang tepat (presisi)
5)
Accountability For
Resources
Sumber yang ada harus dapat dihitung, sehingga
dapat dipastikan berapa bagian yang terpakai dan tak terpakai.
6)
Linierity of Objectives
Fungsi tujuan dan faktor pembatasnya harus dapat
dinyatakan sebagai fungsi linier
v Kesamaan dan Ketidaksamaan
Kesamaan
dan ketidaksamaan merupakan suatu hubungan penting dalam L.P. Kesamaan
digambarkan oleh tanda “sama dengan” yaitu =, dan ini merupakan pernyataan
khusus dalam bentuk matematik. Misalnya Z = 2500 (jumlah ikan kaleng tuna) +
2000 (jumlah ikan kaleng lemuru).
Namun banyak persoalan perusahaan tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk kesamaan yang jelas dan rapi. Hitungan yang dicari
tidak selalu satuan bulat, tetapi juga bisa berupa angka kira-kira. Untuk itu
diperlukan “ketidaksamaan” yaitu hubungan lain yang dinyatakan dalam bentuk
matematik (Richard I. Levin, dkk, 2000). Misalnya pernyataan bahwa total biaya
produksi ikan kaleng tuna Rp. 1500 per kaleng dan ikan kaleng lemuru Rp. 1300
per kaleng tidak boleh lebih dari Rp. 500.000.000. Dalam ketidaksamaan ditulis
sebagai berikut :
5 X1 + 4 X2 £ 500.000.000
Tanda £ berarti “lebih kecil atau sama dengan”. Setiap nilai yang
lebih kecil dari atau sama dengan 500.000.000 memenuhi ketidaksamaan tersebut.
Bila ini merupakan kesamaan, biaya produksi ikan kaleng tuna dan lemuru harus
sama dengan 500.000.000. Tanda ³ berarti “lebih besar dari atau sama dengan”. Setiap nilai
lebih besar dari atau sama dengan 500.000.000 akan memenuhi ketidaksamaan ini.
Sebagian besar
batasan dalam persoalan L.P dinyatakan sebagai ketidaksamaan. Seperti akan
terlihat nanti dalm contoh-contoh soal, kebanyakan dinyatakan diatas atau
dibawah batas, dan tidak dinyatakan pada tingkat yang pasti, sehingga membuka
banyak kemungkinan (Richard I. Levin, dkk, 2000)
Untuk
memudahkan dalam hal memahami pengertian dari persoalan L.P tersebut,
perhatikan contoh dibawah ini :
v Pemilik perusahaan ikan kaleng memiliki 2 macam bahan mentah
yaitu ikan tuna dan tomat. Ikan tuna yang dimiliki sebanyak 60 ton dan lemuru
48 ton. Dari 2 bahan mentah tersebut akan diproduksi 2 macam ikan kaleng jenis
tuna kualitas 1 dan 2. Baik kualitas I dan II memerlukan bahan mentah ikan tuna
dan tomat sebagai inputnya. Perincian penggunaan bahan mentah adalah sebagai
berikut : kualitas 1, per ikan kaleng memerlukan 0,25 kg ikan tuna dan 0,15 kg
tomat, kualitas 2 memerlukan 0,15 kg ikan tuna dan 0,10 kg tomat. Apabila ikan
kaleng kualitas 1 dijual per kaleng laku Rp. 2500 dan ikan kaleng kualitas 2
laku Rp. 2000. Berapa besarnya produksi ikan kaleng kualitas 1 dan 2 agar
supaya penerimaan seluruh hasil penjualan maksimum dengan memperhatikan
pembatasan bahwa penggunaan bahan mentah ikan tuna dan tomat tidak boleh
melebihi 60 ton dan 48 ton. Diasumsikan semua produk ikan kaleng baik kualitas
1 dan 2 habis terjual.
Untuk
memudahkan perumusan persoalan L.P diatas, dapat dibuat tabel yang berisi
rinkasan soal cerita diatas sebagai berikut :
Tabel 2. Matrik
untuk merumuskan persoalan L.P
|
Input
|
Produksi ikan kaleng (x)
|
Batas
|
|
|
X1
|
X2
|
||
|
v
Ikan tuna
v
Tomat
|
0,25
0,15
|
0,15
0,10
|
60
48
|
|
Max penerimaan
|
2500
|
2000
|
|
v Perumusan persoalan dengan
model matematik
Misal : Ikan kaleng kualitas 1 = x1
Ikan kaleng
kualitas 2 = x2
Cari x1, x2
s.r.s Z = 2500 x1 +
2000 x2 : maksimum
d.p 0,25 x1 + 0,15
x2 £ 60.000
0,15 x1 + 0,10
x2 ≤ 48.000
x1 , x2 ³ 0
Keterangan :
v Z = f ( x1, x2 ) = 2500 x1 + 2000 x2 à fungsi tujuan yang linier
v S.r.s = sedemikian rupa sehingga
³
artinya lebih besar atau sama
£ artinya lebih kecil atau sama
(simbol ketidaksamaan untuk menunjukkan pembatasan)
v ikan kaleng kualitas 1 (x1) per kaleng laku Rp. 2500 à penerimaan dari x1 = 2500 x1
v Ikan kaleng kualitas 2 (x2) per kaleng laku Rp. 2000 à penerimaan dari x2 = 2000 x2
v Jumlah hasil penjualan atau penerimaan total = Z = 2500 x1 +
2000 x2 à harus maksimum
v Ketidaksamaan kendala/pembatas dapat dijelaskan sebagai
berikut untuk memproduksi ikan kaleng kualitas 1 per unit/kaleng memerlukan
0,25 kg ikan tuna, jadi jumlah bahan baku ikan tuna yang dibutuhkan untuk
memproduksi ikan kaleng kualitas 1 sebanyak 0,25 X x1
v Untuk memproduksi
ikan kaleng kualitas 2 per unit/kaleng
memerlukan 0,15 kg ikan tuna. Jadi jumlah bahan baku ikan tuna yang dibutuhkan
untuk memproduksi ikan kaleng kualitas 2 sebanyak 0,15 X x2
v Dengan demikian jumlah bahan mentah ikan tuna yang dibutuhkan
untuk memproduksi ikan kaleng kualitas satu dan 2 sebesar 0,25 x1 + 0,15 x2 £
60.000
v untuk memproduksi ikan kaleng kualitas 1 per unit/kaleng
memerlukan 0,15 kg tomat, jadi jumlah bahan baku tomat yang dibutuhkan untuk
memproduksi ikan kaleng kualitas 1 sebanyak 0,15 X x1
v Untuk memproduksi ikan
kaleng kualitas 2 per unit/kaleng memerlukan 0,10 kg tomat. Jadi jumlah
bahan baku tomat yang dibutuhkan untuk memproduksi ikan kaleng kualitas 2
sebanyak 0,15 X x2
v Dengan demikian jumlah bahan mentah tomat yang dibutuhkan
untuk memproduksi ikan kaleng kualitas satu dan 2 sebesar 0,15 x1 + 0,10 x2 £
48.000
v
x1 ³ 0 dan x2 ³ 0 artinya x1 dan x2 tidak boleh mengambil nilai negatif,
karena produksi sebanyak – tertentu tidak bisa dilakukan dan tidak rasional.
Minimal tidak berproduksi atau produksi = 0.
Apabila diperhatikan perumusan
persoalan L.P diatas maka dapat dilihat unsur yaitu tujuan, alternatif
pemecahan (tujuan maksimum) dan sumberdaya yang terbatas. Supranto, 1983
mengatakan bahwa suatu persoalan disebut persoalan L.P apabila memenuhi hal-hal
berikut :
1. Tujuan (objective)
yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier. Fungsi ini
disebut fungsi tujuan (Objective function).
2. Harus ada alternatif pemecahan. Pemecahan
yang membuat nilai fungsi tujuan optimum (laba yang maksimum, biaya yang
minimum yang harus dipilih).
3. Sumber-sumber tersedia dalam jumlah yang
terbatas (bahan mentah, modal, ruangan untuk menyimpan, waktu yang digunakan
untuk bekerja, kapasitas mesin, dan lain-lain). Pembatasan-pembatasan harus
dinyatakan didalam ketidaksamaan linier (linier
inequality) ( Supranto, 1983)
Model dasar atau model baku L.P dapat dirumuskan
sebagai berikut :
Cari x1, x2, ..., xn
s.r.s Z =
C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + ... + CnXn à Fungsi Tujuan
dengan kendala (d.k)
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn £
atau ³ b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn £
atau ³ b2
.
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn £
atau ³ bm
dan xj ³ 0, untuk j = 1,2,...,n
(syarat
non negatif)
Model tersebut jika diringkas akan menjadi sebagai berikut :
Optimumkan (maksimumkan atau minimumkan)
n
Z = å Cj Xj , untuk j = 1,2,...,n
J=1
Dengan pembatas/kendala
n
å aij Xj
£
atau ³ bi
j=1
Untuk i = 1,2,...,n dan Xj ³ 0 dimana j = 1,2,...,n
(syarat tak
negatif)
Keterangan :
v
Cj =
parameter yang dijadikan kriteria optimum atau koefisien peubah pengambilan
keputusan dalam fungsi tujuan.
v Xj = peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin
dicari, yang tak diketahui)
v aij = koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan
(kegiatan yang bersangkutan dalam kendala ke i
v bi = sumberdaya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau
usaha yang bersangkutan disebut pula konstanta atau nilai sebelah kanan dari
kendala ke- i
v Z = nilai skalar kriteria pengambilan keputusan suatu fungsi
tujuan
(Nasendi dan Anwar,
1985)
Secara
aplikatif Cj adalah harga masing-masing produk untuk kasus maksimalisasi dan
minimalisasi Cj merupakan biaya untuk memproduksi masing-masing produk.
Sedangkan Xj adalah kegiatan dalam memproduksi yaitu dalam contoh ini adalah
memproduksi ikan kaleng tuna dan lemuru. Z adalah besarnya penerimaan yang
diperoleh dari memproduksi semua produk. aij adalah jumlah sumberdaya misalnya
bahan baku tuna dan lemuru yang dibutuhkan dalam memproduksi masing-masing
produk. bi adalah jumlah keterbatasan sumberdaya dalam contoh ini misalnya
jumlah ikan tuna dan lemuru yang dimiliki perusahaan ikan kaleng, dan
lain-lain. Keterangan lebih lanjut tentang model matematika L.P adalah sebagai
berikut :
a)
Ada m macam input
b)
Ada n macam output (hasil
produksi)
c)
Cn : harga per satuan
output
d)
Xn : output ke n yang
dihasilkan
e)
amn : banyak input ke m
yang diperlukan untuk menghasilkan satu satuan output ke n
f)
bm : banyaknya input ke-m
yang tersedia
Apabila
dalam suatu persoalan L.P tujuannya memaksimumkan keuntungan, maka fungsi
tujuan merupakan profit function yang secara umum dapat dituliskan sebagai
berikut :
Z = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn
Keterangan :
a)
Xn = banyaknya barang yang
diproduksikan = n buah aktivitas yang menghasilkan n macam barang
b)
Cn = harga barang ke n
c)
Dengan pembatas
a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn £ b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn £
b2
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn £ bm
Dengan syarat :
X1 ³ 0 dan x2 ³
0
Jika
banyaknya input ke m yang tersedia sebanyak bm, berarti pemakaian input tidak
boleh melebihi bm. Pemakaian input 1 untuk menghasilkan x1 satuan barang 1 =
a11 x1; pemakaian input 1 untuk menghasilkan x2 satuan barang 2 = a12 x2 dan pemakaian input ke-m untuk menghasilkan
xn satuan barang ke-n = amn xn. Pemakaian input ke-m untuk seluruh aktivitas
adalah :
amn x 1 +
am2 x2 + .... + amn xn £
bm
£
bm artinya pemakaian input tidak boleh melebihi jumlah input yang tersedia (bm)
v Ulangan Konsep
a)
Linier programming adalah
teknik yang mencoba untuk menentukan alokasi terbaik dari
---------------------- untuk mencapai ------------
b)
Tiap persoalan L.P
meliputi suatu ---------------- yang menghubungkan variabel dalam persoalan
tersebut dengan tujuan perusahaan, dan ----------- yang menggambarkan
keterbatasan sumber-sumber yang tersedia bagi perusahaan.
c)
Batasan dalam L.P ysng
mengharuskan semua variabelnya nol atau positif disebut sebagai batasan
-------------
d)
Semua batasan lainnya yang
merupakan hasil dari sumber batasan disebut batasan -----------
e)
Suatu batasan dalam L.P
harus dinyatakan baik sebagai suatu ------------linier atau suatu
-------------- linier
f)
Bila ada pemecahan optimal
dalam suatu persoalan L.P, ini akan
terletak di -------- daerah yang memungkinkan
g)
Bila dua variabel selalu
merupakan nilai dalam proporsi yang sama , variabel tersebut adalah berhubungan
secara ----------
h)
Semua kemungkinan
pemecahan yang memenuhi semua ketidaksamaan kendala terdapat dalam -----------
Langganan:
Postingan (Atom)
- Follow Us on Twitter!
- "Join Us on Facebook!
- RSS
Contact