v Persoalan Programming
Persoalan programming pada dasarnya berkenaan
dengan penentuan alokasi yang optimal daripada sumber-sumber yang langka (Limited Resources) untuk memenuhi suatu
tujuan (objective), misalnya bagaimana mengkombinasikan beberapa sumber yang
serba terbatas seperti tenaga kerja, material, mesin, tanah, pupuk, air dsb
sehingga diperoleh output yang optimal.
v Persoalan Linier
Programming (L.P)
Persoalan
L.P adalah persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel
sedemikian rupa sehingga (s.r.s) nilai fungsi tujuan (objective function) yang
linier menjadi maksimum atau minimum
Dengan demikian maka teknik L.P dapat digunakan
dalam 2 cara yaitu :
a.
Memaksimumkan total
penerimaan atau total keuntungan pada kendala sumberdaya yang terbatas yang
selanjutnya disebut dengan istilah program memaksimumkan atau maksimisasi
(maximize)
b.
Meminimumkan biaya dalam rangka
tetap mendapatkan total penerimaan atau total keuntungan sebesar mungkin atau
minimisasi (minimize)
Penggunaan salah satu dari cara tersebut dilakukan karena
tersedianya data yang berbeda.
v Asumsi Dasar L.P
Beberapa asumsi digunakan dalam
memecahkan persoalan L.P yaitu
1)
Proportionality :
Asumsi ini mempunyai arti naik turunnya Z dan
penggunaan sumber/fasilitas akan berubah sebanding (proportional) dengan
perubahan tingkat aktivitas
2)
Nilai tujuan tiap
aktivitas tidak saling mempengaruhi. Nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh
kenaikan suatu aktivitas dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z
yang didapat dari aktivitas lain.
3)
Divisibility :
Output setiap kegiatan dapat berupa bilangan
pecahan. Demikian pula dengan Z (hasil). Misalnya x1 = 6,5 ; Z = 1000,75
4)
Deterministic
Parameter yang terdapat dalam model L.P
(aij;bi;cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun kurang tepat (presisi)
5)
Accountability For
Resources
Sumber yang ada harus dapat dihitung, sehingga
dapat dipastikan berapa bagian yang terpakai dan tak terpakai.
6)
Linierity of Objectives
Fungsi tujuan dan faktor pembatasnya harus dapat
dinyatakan sebagai fungsi linier
v Kesamaan dan Ketidaksamaan
Kesamaan
dan ketidaksamaan merupakan suatu hubungan penting dalam L.P. Kesamaan
digambarkan oleh tanda “sama dengan” yaitu =, dan ini merupakan pernyataan
khusus dalam bentuk matematik. Misalnya Z = 2500 (jumlah ikan kaleng tuna) +
2000 (jumlah ikan kaleng lemuru).
Namun banyak persoalan perusahaan tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk kesamaan yang jelas dan rapi. Hitungan yang dicari
tidak selalu satuan bulat, tetapi juga bisa berupa angka kira-kira. Untuk itu
diperlukan “ketidaksamaan” yaitu hubungan lain yang dinyatakan dalam bentuk
matematik (Richard I. Levin, dkk, 2000). Misalnya pernyataan bahwa total biaya
produksi ikan kaleng tuna Rp. 1500 per kaleng dan ikan kaleng lemuru Rp. 1300
per kaleng tidak boleh lebih dari Rp. 500.000.000. Dalam ketidaksamaan ditulis
sebagai berikut :
5 X1 + 4 X2 £ 500.000.000
Tanda £ berarti “lebih kecil atau sama dengan”. Setiap nilai yang
lebih kecil dari atau sama dengan 500.000.000 memenuhi ketidaksamaan tersebut.
Bila ini merupakan kesamaan, biaya produksi ikan kaleng tuna dan lemuru harus
sama dengan 500.000.000. Tanda ³ berarti “lebih besar dari atau sama dengan”. Setiap nilai
lebih besar dari atau sama dengan 500.000.000 akan memenuhi ketidaksamaan ini.
Sebagian besar
batasan dalam persoalan L.P dinyatakan sebagai ketidaksamaan. Seperti akan
terlihat nanti dalm contoh-contoh soal, kebanyakan dinyatakan diatas atau
dibawah batas, dan tidak dinyatakan pada tingkat yang pasti, sehingga membuka
banyak kemungkinan (Richard I. Levin, dkk, 2000)
Untuk
memudahkan dalam hal memahami pengertian dari persoalan L.P tersebut,
perhatikan contoh dibawah ini :
v Pemilik perusahaan ikan kaleng memiliki 2 macam bahan mentah
yaitu ikan tuna dan tomat. Ikan tuna yang dimiliki sebanyak 60 ton dan lemuru
48 ton. Dari 2 bahan mentah tersebut akan diproduksi 2 macam ikan kaleng jenis
tuna kualitas 1 dan 2. Baik kualitas I dan II memerlukan bahan mentah ikan tuna
dan tomat sebagai inputnya. Perincian penggunaan bahan mentah adalah sebagai
berikut : kualitas 1, per ikan kaleng memerlukan 0,25 kg ikan tuna dan 0,15 kg
tomat, kualitas 2 memerlukan 0,15 kg ikan tuna dan 0,10 kg tomat. Apabila ikan
kaleng kualitas 1 dijual per kaleng laku Rp. 2500 dan ikan kaleng kualitas 2
laku Rp. 2000. Berapa besarnya produksi ikan kaleng kualitas 1 dan 2 agar
supaya penerimaan seluruh hasil penjualan maksimum dengan memperhatikan
pembatasan bahwa penggunaan bahan mentah ikan tuna dan tomat tidak boleh
melebihi 60 ton dan 48 ton. Diasumsikan semua produk ikan kaleng baik kualitas
1 dan 2 habis terjual.
Untuk
memudahkan perumusan persoalan L.P diatas, dapat dibuat tabel yang berisi
rinkasan soal cerita diatas sebagai berikut :
Tabel 2. Matrik
untuk merumuskan persoalan L.P
|
Input
|
Produksi ikan kaleng (x)
|
Batas
|
|
|
X1
|
X2
|
||
|
v
Ikan tuna
v
Tomat
|
0,25
0,15
|
0,15
0,10
|
60
48
|
|
Max penerimaan
|
2500
|
2000
|
|
v Perumusan persoalan dengan
model matematik
Misal : Ikan kaleng kualitas 1 = x1
Ikan kaleng
kualitas 2 = x2
Cari x1, x2
s.r.s Z = 2500 x1 +
2000 x2 : maksimum
d.p 0,25 x1 + 0,15
x2 £ 60.000
0,15 x1 + 0,10
x2 ≤ 48.000
x1 , x2 ³ 0
Keterangan :
v Z = f ( x1, x2 ) = 2500 x1 + 2000 x2 à fungsi tujuan yang linier
v S.r.s = sedemikian rupa sehingga
³
artinya lebih besar atau sama
£ artinya lebih kecil atau sama
(simbol ketidaksamaan untuk menunjukkan pembatasan)
v ikan kaleng kualitas 1 (x1) per kaleng laku Rp. 2500 à penerimaan dari x1 = 2500 x1
v Ikan kaleng kualitas 2 (x2) per kaleng laku Rp. 2000 à penerimaan dari x2 = 2000 x2
v Jumlah hasil penjualan atau penerimaan total = Z = 2500 x1 +
2000 x2 à harus maksimum
v Ketidaksamaan kendala/pembatas dapat dijelaskan sebagai
berikut untuk memproduksi ikan kaleng kualitas 1 per unit/kaleng memerlukan
0,25 kg ikan tuna, jadi jumlah bahan baku ikan tuna yang dibutuhkan untuk
memproduksi ikan kaleng kualitas 1 sebanyak 0,25 X x1
v Untuk memproduksi
ikan kaleng kualitas 2 per unit/kaleng
memerlukan 0,15 kg ikan tuna. Jadi jumlah bahan baku ikan tuna yang dibutuhkan
untuk memproduksi ikan kaleng kualitas 2 sebanyak 0,15 X x2
v Dengan demikian jumlah bahan mentah ikan tuna yang dibutuhkan
untuk memproduksi ikan kaleng kualitas satu dan 2 sebesar 0,25 x1 + 0,15 x2 £
60.000
v untuk memproduksi ikan kaleng kualitas 1 per unit/kaleng
memerlukan 0,15 kg tomat, jadi jumlah bahan baku tomat yang dibutuhkan untuk
memproduksi ikan kaleng kualitas 1 sebanyak 0,15 X x1
v Untuk memproduksi ikan
kaleng kualitas 2 per unit/kaleng memerlukan 0,10 kg tomat. Jadi jumlah
bahan baku tomat yang dibutuhkan untuk memproduksi ikan kaleng kualitas 2
sebanyak 0,15 X x2
v Dengan demikian jumlah bahan mentah tomat yang dibutuhkan
untuk memproduksi ikan kaleng kualitas satu dan 2 sebesar 0,15 x1 + 0,10 x2 £
48.000
v
x1 ³ 0 dan x2 ³ 0 artinya x1 dan x2 tidak boleh mengambil nilai negatif,
karena produksi sebanyak – tertentu tidak bisa dilakukan dan tidak rasional.
Minimal tidak berproduksi atau produksi = 0.
Apabila diperhatikan perumusan
persoalan L.P diatas maka dapat dilihat unsur yaitu tujuan, alternatif
pemecahan (tujuan maksimum) dan sumberdaya yang terbatas. Supranto, 1983
mengatakan bahwa suatu persoalan disebut persoalan L.P apabila memenuhi hal-hal
berikut :
1. Tujuan (objective)
yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier. Fungsi ini
disebut fungsi tujuan (Objective function).
2. Harus ada alternatif pemecahan. Pemecahan
yang membuat nilai fungsi tujuan optimum (laba yang maksimum, biaya yang
minimum yang harus dipilih).
3. Sumber-sumber tersedia dalam jumlah yang
terbatas (bahan mentah, modal, ruangan untuk menyimpan, waktu yang digunakan
untuk bekerja, kapasitas mesin, dan lain-lain). Pembatasan-pembatasan harus
dinyatakan didalam ketidaksamaan linier (linier
inequality) ( Supranto, 1983)
Model dasar atau model baku L.P dapat dirumuskan
sebagai berikut :
Cari x1, x2, ..., xn
s.r.s Z =
C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + ... + CnXn à Fungsi Tujuan
dengan kendala (d.k)
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn £
atau ³ b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn £
atau ³ b2
.
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn £
atau ³ bm
dan xj ³ 0, untuk j = 1,2,...,n
(syarat
non negatif)
Model tersebut jika diringkas akan menjadi sebagai berikut :
Optimumkan (maksimumkan atau minimumkan)
n
Z = å Cj Xj , untuk j = 1,2,...,n
J=1
Dengan pembatas/kendala
n
å aij Xj
£
atau ³ bi
j=1
Untuk i = 1,2,...,n dan Xj ³ 0 dimana j = 1,2,...,n
(syarat tak
negatif)
Keterangan :
v
Cj =
parameter yang dijadikan kriteria optimum atau koefisien peubah pengambilan
keputusan dalam fungsi tujuan.
v Xj = peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin
dicari, yang tak diketahui)
v aij = koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan
(kegiatan yang bersangkutan dalam kendala ke i
v bi = sumberdaya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau
usaha yang bersangkutan disebut pula konstanta atau nilai sebelah kanan dari
kendala ke- i
v Z = nilai skalar kriteria pengambilan keputusan suatu fungsi
tujuan
(Nasendi dan Anwar,
1985)
Secara
aplikatif Cj adalah harga masing-masing produk untuk kasus maksimalisasi dan
minimalisasi Cj merupakan biaya untuk memproduksi masing-masing produk.
Sedangkan Xj adalah kegiatan dalam memproduksi yaitu dalam contoh ini adalah
memproduksi ikan kaleng tuna dan lemuru. Z adalah besarnya penerimaan yang
diperoleh dari memproduksi semua produk. aij adalah jumlah sumberdaya misalnya
bahan baku tuna dan lemuru yang dibutuhkan dalam memproduksi masing-masing
produk. bi adalah jumlah keterbatasan sumberdaya dalam contoh ini misalnya
jumlah ikan tuna dan lemuru yang dimiliki perusahaan ikan kaleng, dan
lain-lain. Keterangan lebih lanjut tentang model matematika L.P adalah sebagai
berikut :
a)
Ada m macam input
b)
Ada n macam output (hasil
produksi)
c)
Cn : harga per satuan
output
d)
Xn : output ke n yang
dihasilkan
e)
amn : banyak input ke m
yang diperlukan untuk menghasilkan satu satuan output ke n
f)
bm : banyaknya input ke-m
yang tersedia
Apabila
dalam suatu persoalan L.P tujuannya memaksimumkan keuntungan, maka fungsi
tujuan merupakan profit function yang secara umum dapat dituliskan sebagai
berikut :
Z = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn
Keterangan :
a)
Xn = banyaknya barang yang
diproduksikan = n buah aktivitas yang menghasilkan n macam barang
b)
Cn = harga barang ke n
c)
Dengan pembatas
a11 x1 + a12 x2 + .... + a1n xn £ b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn £
b2
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn £ bm
Dengan syarat :
X1 ³ 0 dan x2 ³
0
Jika
banyaknya input ke m yang tersedia sebanyak bm, berarti pemakaian input tidak
boleh melebihi bm. Pemakaian input 1 untuk menghasilkan x1 satuan barang 1 =
a11 x1; pemakaian input 1 untuk menghasilkan x2 satuan barang 2 = a12 x2 dan pemakaian input ke-m untuk menghasilkan
xn satuan barang ke-n = amn xn. Pemakaian input ke-m untuk seluruh aktivitas
adalah :
amn x 1 +
am2 x2 + .... + amn xn £
bm
£
bm artinya pemakaian input tidak boleh melebihi jumlah input yang tersedia (bm)
v Ulangan Konsep
a)
Linier programming adalah
teknik yang mencoba untuk menentukan alokasi terbaik dari
---------------------- untuk mencapai ------------
b)
Tiap persoalan L.P
meliputi suatu ---------------- yang menghubungkan variabel dalam persoalan
tersebut dengan tujuan perusahaan, dan ----------- yang menggambarkan
keterbatasan sumber-sumber yang tersedia bagi perusahaan.
c)
Batasan dalam L.P ysng
mengharuskan semua variabelnya nol atau positif disebut sebagai batasan
-------------
d)
Semua batasan lainnya yang
merupakan hasil dari sumber batasan disebut batasan -----------
e)
Suatu batasan dalam L.P
harus dinyatakan baik sebagai suatu ------------linier atau suatu
-------------- linier
f)
Bila ada pemecahan optimal
dalam suatu persoalan L.P, ini akan
terletak di -------- daerah yang memungkinkan
g)
Bila dua variabel selalu
merupakan nilai dalam proporsi yang sama , variabel tersebut adalah berhubungan
secara ----------
h)
Semua kemungkinan
pemecahan yang memenuhi semua ketidaksamaan kendala terdapat dalam -----------
0 komentar:
Posting Komentar